本文主要记载了关于镜头径向畸变和切向畸变的建模过程。

径向畸变

计算径向畸变

文章 大眼睛特效 对径向畸变的叙述。

点 $(x,y)$ 到圆心的距离为:

$\mathcal{r}=\sqrt{x^2 + y^2}$

我们可以对像素使用一个非线性变换 $T$ 使得点到圆心的距离 $r$ 变为 $r_d$, 然后增加 $r_d$ 和 $r$ 的比例关系，将点的坐标从 $(x, y)$ 变换到 $(x_d, y_d)$​

$r_d=r+T(r)$

$x_d=\frac{xr_d}{r}$

$y_d=\frac{yr_d}{r}$

所以最终镜像畸变的问题变成了找出一个合适的非线性变换 $T$. 有许多这样的变换方法，这里有由于我们的坐标有正负之分，而且我们的畸变是对称的，所以我们可以选择使用 $\cos$ 函数:

$r_d = r + k \cdot r \cos(\pi r) \tag{1}$

由于 $\cos$ 函数的泰勒展开式为

可以近似写作，

$\cos(r)=1-\frac{r^2}{2!}+\frac{r^4}{4!}-\frac{r^6}{6!}+\cdots=1+k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6$

则 (1) 式可以写作

$r_d=r+k\cdot r(1+k_1(\pi r)^2+k_2(\pi r)^4+k_3(\pi r)^6))$

则

$x_d=x(1+k(1+k_1\pi^2r^2+k_2\pi^4r^4+k_3\pi^6r^6))=x(1+k+kk_1\pi^2r^2+kk_2\pi^4r^4+kk_3\pi^6r^6)$

可以近似写作

$x_d=x(1+K_1r^2+K_2r^4+K_3r^6)$

这也与径向畸变的模型相符

文章 机器视觉模型——畸变模型 对径向畸变的描述。

由于这种畸变是从中心沿径向方向向外分布的，我们用 $r=0$ 处的泰勒级数展开的前几项来近似描述径向畸变。径向畸变前后的坐标关系为

式中：
$x_distorted$ ,$y_distorted$ ——原畸变图像坐标
$x,y$ —— 正确坐标（无畸变图像坐标，或校正后坐标）
$r$ —— 半径， $r_2 = x_2 + y_2$
$k_1 , k_2 , k_3$ —— 引入的径向畸变参数

由于径向畸变模型中 $r$ 的存在，可以推出，距离中心距离相等的圆上的像素的失真效果是一样的。这也可以从下图看出

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